Sistem Bilangan
Bilangan
Prima: Bilangan yang bukan satu tetapi hanya bisa dibagi dengan bilangan satu
atau bilangan itu sendiri, contoh: 2,3,5,7,11,13.....dst
Bilangan
Rasional: p/q, dengan syarat p = bulat, q= bulat dan q
Bilangan
Irrasional ialah bilangan yang mempunyai interval tertentu secara berulang
Contoh
:
, gabungan antara irrasional dengan rasional disebut
bilangan real dan gabungan antara real dan imajiner disebut bilangan kompleks.
Bil. Kompleks
Bil. Real Bil. Imajiner
Rasional irrasional
Bil. Bulat
bil. negatip
nol
bil.
Positif
Bilangan real tertutup bagi
operasi penjumlahan, perkalian, pembagian, pengurangan artinya bilangan real di
jumlahkan, dikalikan, dibagi, dikurangi menghasilkan bilangan real juga.
Bilangan asli tertutup pada
perkalian dan penjumlahan.
Bilangan Kompleks
Bilangan yang mengandung bilangan
real dan bilangan imajiner
Contoh : 3+j4, 2-J5
Simbol j
Persamaan kuadratik
dapat
diperoleh dengan rumus ,
Contoh:
diperoleh
dengan
Selanjutnya persamaan
dengan cara
yang sama, maka diperoleh
Sekarang akan di tentukan akar
dari -64.
, sehingga bisa dituliskan sebagai berikut:
Jadi
karena
Pangkat dari J
Operasi Bilangan Kompleks
Pengurangan dan penjumlahan,
contoh : ( 4 + j5 ) + ( 3 – j2 ) = 4 + j5 + 3 – 2
=
7 + j3
( 4 + j7 ) – ( 2 – j5 ) = 4 + j7 –
2 - j5
= 2 + j12
( 3 + j4 ) ( 2 + j5 ) = 6 +j8 +
j15 + j220
= 6 + j23 – 20 (
karena j2 = -1)
= - 14 + j23
Jika perkaliannya memuat lebih
dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap
Contoh: ( 3 + j4 ) (2 – j5 ) ( 1 –j2 ) = ( 6 + j8 –
j15 – j220)(1 – j2)
= ( 6 – j7 +
20 )(1 – j2)
= (26 – j7)( 1 –j2)
= 26 – j7 – j52 + j214 = 26 – j59 -14 = 12 – j59
Jadi 2 buah atau lebih bilangan
kompleks yang dijumlah, dikurang ataupun dikalikan menghasilkan bilangan
kompleks juga.
Tinjau bilangan kompleks berikut
ini:
(5 + j8 )(5- j8) = 25 + j40 –
j40 – j264
= 25 + 64 = 89 diperoleh bil. Real
Catatan : hasil kali dua
bilangan kompleks konjugat selalu menghasilkan bilangan real.
Selisih dua bilangan kuadrat
Contoh: (5 +j8)(5 –J8) = 52 – (j8)2
= 52 – j282
= 52 + 82
(j2 = -1 )
= 52 + 64 = 89
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
|
r
|
|
Y
|
|
a
|
|
X
|
= Sudut yang dibentuk dengan OX
Maka:
a = r cos
dan
b = r sin
Karena Z = a +jb
maka Z = r cos
+jr sin
= r ( cos
)
bentuk kutub
dari a + jb
dengan
Contoh 1: Nyatakan z= 4+j3 dalam bentuk kutub
Jawab:
= 16 + 9 = 25
r = 5
Sehingga: Z = 4 + j3 = 5 ( cos 36,87 + j sin 36,87 )
Contoh 2:
Y
|
|
5 0 X
Sehingga -5+j4 = 6,403 ( cos 141,34 + jsin 141,34) =
6,403
141,43
|
60
|
3 Cos
300 = cos 60
Sin
300 = - sin 60
3∟300 = 3 (
cos 60 – jsin 60)
= 3 ( 0,5 – j0,866)
= 1,5 – j 2,598
Bentuk
Eksponen Bilangan Kompleks
Misal:
Bila kita ambil deret untuk
dan
menggantikan x dengan
, maka;
)
Dengan demikian r (
) dapat dituliskan sebagai
bentuk
tersebut disebut dengan eksponensial ( sudutnya harus dalam radian).
Contoh:
ubahlah bentuk kutub 5( cos 60 + jsin 60) menjadi bentuk ekponensial.
Jawab:
5 (cos 60 +jsin 60), r = 5
sehingga
Catatan:
Bila Z =
Contoh:
Nyatakan
dalam bentuk
a + jb
Jawab:
Catatan
3 cara
menyatakan bilangan kompleks:
-
Bentuk baku
z = a + jb
-
Bentuk kutub
z = r (
-
Bentuk Ekponensial
Dengan kata lain:
]...dst
Sehingga
Teorema
DeMoivre
Digunakan untuk mencari pangkat n dari suatu
bilangan kompleks
Contoh:
untuk mencari akar pangkat dua dari
Z = ( cos 70 + jsin 70 )
Untuk mencari ketiga akar pangkat tiga dari
Z = 5 ( cos 225 + jsin 225)
Akar yang pertama diberikan oleh
Akar yang lain mempunyai besar ( modulus )
yang sama, yaitu 1,7 dan tersebar dengan selang 360/3, yaitu 120.
Jadi ketiga akarnya adalah:
Dalam diagram Argand
Cari akar pangkat lima dari 12
300
∟
∟60
Mencari
harga
=
0,2158
Diambil antilog A = 1,644
Jadi akar pertama dari kelima akarnya yaitu adalah
Akar yang lain akan mempunyai besar yang sama yaitu 1,644 dan dipisahkan
dengan
Sudut yang sama sebesar 360/5 yaitu 72
Jadi kelima akar pangkat lima dari 12
adalah:
( akar utama
)
Catatan
Akar pangkat dari bilangan dari bilangan kompleks dapat
diperoleh dengan cara:
-
Teorema DeMoivre untuk memperoleh akar pertama
dari n buah akar yang ada
-
Akar yang lain akan tersebar dalam diagram
dengan selang teratur sebesar 360/n
Jadi sebuah bilangan kompleks memiliki:
-
2 buah akar kuadrat yang dipisahkan oleh sudut
sebesar 360/2 yaitu 180
-
3
-------------------------.............................--------------------- 360/3 yaitu 120
-
4
-------------------------..............................--------------------- 360/4 yaitu 90 dst
® Akar utama ( principel root ), walaupun ada 5 buah akar pangkat
lima dari suatu bilangan kompleks, kadang-kadang yang diminta hanyalah akar
utamanya saja yaitu akar yang vektornya paling dekat dengam sumbu OX positif.
® Cos n
Contoh:
1.
Carilah jawaban cos 3
Dengan
Ruas kanan diurai ke dalam deret binomial
seperti
sehingga
karena
J3 = -j
Samakan bagian riil dan bagian
imajinernya, maka:
Bila:
( 1 -
dan
maka:
)
2.
Tentukan jabaran cos 4
dinyatakan
dalam cos
Jawab:
Samakan bagian riilnya:
Penjabaran
dinyatakan
dalam sinus dan cosinus kelipatan-kelipatan.
Misal:
maka
Sehingga:
Teorema Demoivre:
Contoh:
Jabarkan
Jawab:
, karena
: :
,
Soal Tempat Kedudukan
Kadang-kadang kita ingin menentukan tempat
kedudukan suatu titik yang bergerak dalam diagram argand dengan suatu syarat
tertentu.
Contoh: 1. Jika Z = x +jy, tentukan tempat kedudukan yang didefinisikan oleh l Zl = 5
Jawab:
Tempat
kedudukan yang dimaksud diseret sebagai:
Y
|
5
|
X1 X
yaitu
Persamaan ini menyatakan lingkaran yang berpusat
di titik asal dan bejari-jari 5
Y1
2.
Jika Z = x +jy, tentukan tempat kedudukan yang
didefinisikan oleh arg Z =
Arg Z =
Sehingga
Jadi tempat kedudukan menurut arg Z =
adalah garis lurus
y=x dengan y
Arg
Z =
yaitu y = x
3.
Jika Z = x + jy, tentukan persamaan tempat
kedudukan bila
Karena Z = x + jy, maka
Z + 1 = x + jy + 1 = ( x + 1 ) + jy =
Z
- 1 = x + jy - 1 = ( x - 1 ) + jy =
Sehingga
Maka
dan
Telah diperoleh:
Maka
4. Jika Z = x +jy,
tentukanlah persamaan tempat kedudukan bila(
Z
= x + jy =
Dengan teorema DeMoivre,
arg
Sehingga
2
tg
tetapi
5. Jika
x + jy, tentukan tempat kedudukan arg ( Z + 1 ) =
Jawab: Z = x + jy
arg ( z + 1) =
6. Jika z = x +jy, tentukan persamaan tempat
kedudukan
PANGKAT
DAN LOGARITMA
Pangkat
Faktor yang
diulang dengan basis yang sama yaitu: a x a x a x a ditulis sebagai a4, angka 4
menunjukkan jumlah faktor yang dikalikan bersama. Secara umum dituliskan an
, dengan a disebut basis dan n adalah
indeks atau eksponen. Jika pangkat juga mempunyai pengali numerik, pengali ini
disebut koefisien.
Contoh :
3
disebut indeks, eksponen
5 koefisien, dan a basis
Aturan pangkat:
®
®
®
®
®
®
,
sehingga dari hal tersebut bahwa:
Contoh:
Sederhanakan
Logaritma
Mis: 16 = 24 maka 2 disebut basis
pangkat dan 4 adalah indeks. Indeks 4 dapat juga didefinisikan sebagai logaritma basis 2 dan
ditulis sebagai 4 =
Dimana : 4 adalah
indeks ( log basis 2)
2 basis dan 16 adalah bilangan
Secara umum, jika N = an, n = logaritma N dengan
basis a. Basis logaritma ditunjukkan dengan a kecil pada ekor huruf g.
Aturan Logaritma
Karena logaritma
adalah bilangan pangkat basis yang diberikan, aturannya sangat mirip dengan
aturan pangkat:
®
®
®
Hasil penting berikut yang dipunyai dari aturan pangkat:
®
dari
definisi logaritma,
®
®
Jadi
Logaritma Biasa
Adalah logaritma dengan basis 10, misalnya 100 = 102
atau log 100 = 2
Bila log untuk basis yang lain, angka basis tetap disertakan,
misalnya 125 = 52
10 = 101
100
= 102
1000 =
103
Log 275 terdapat antara 2 dan 3 yaitu log 275 = 2,4393,
bagian bilangan bulat yaitu 2 disebut karakteristik sedangkan bagian
desimal yaitu 0,4393 disebut mantisa .
Untuk bilangan positif yang lebih besar dari 1
-
Karakteristik + dan lebih kecil 1 dari digit
bilangan sebelum koma desimal pada setiap angka
-
Mantisa selalu positif dan dapat dicari dari
tabel logaritma / kalkulator
Untuk bilangan positif kurang dari 1
-
Karakteristik negatif dan lebih besar dari 1
dari bilangan nol yang mengikuti tanda koma desimal
-
Mantisa selalu positif
Misal log 0,0624 =
-1 + 0,2048 =
Anti Logaritma
Jika
, N
dikatakan sebagai antilogaritma n dengan basis a.
Misal:
Logaritma dari 2 dengan basis 7 adalah bilangan 49 dan ditulis
Antilog
dari 3 dengan basis 2 adalah 8 karena basis 2 diberikan pangkat 3 menghasilkan
8 = 3
Log 100 = 2
dengan basis
10 adalah 102 yaitu 100
Log 275 = 2,4393
antilog
2,4393 = 102,4393 = 275
Mengubah Basis Logaritma
Jika logaritma sebuah bilangan dengan basis a diketahui,
logaritma bilangan yang sama ke basis yang berbeda b dapat ditentukan.
Contoh: Untuk
menentukan
Jadi
Tentukan
Pertama-tama
Kemudian
Logaritma Natural ( Log. Napier)
Logaritma dengan basis 2,71828....dengan simbol e (
logaritma natur ) angka N ditulis
atau Ln N.
Contoh: Untuk menentukan Ln 6,439
Antilogaritma logaritma natural ( AntiLn )
Jika
(
bentuk umum/definisi umum )
Jika Ln N = 3,1587
maka N =
Bila mengubah kalkulator tidak memberikan pangkat e, maka:
Persamaan Perpangkatan
Untuk menghitung nilai x dari
Pakai log ke dua sisi dan gunakan
diperoleh:
Selesaikan
(3x-2) log 4 = (x+1) log 26
(3x-2) . 0,6021 = (x+1) . 1,4150
1,8063x – 1,2042 = 1,4150x + 1,4150
(1,8063 – 1,4150)x = 1,4150 +
1,2042
0,3913x = 2,6192
Selesaikan
Log ( A x B ) = Log A + Log B
...........lanjutkan
mencari x
Selesaikan Persamaan 7(
...........
lnjutkan
Fungsi dan Grafik
0 komentar:
Posting Komentar