GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

A.        GELOMBANG

Gelombang adalah getaran yang merambat. Bentuk ideal dari suatu gelombang akan mengikuti gerak sinusoide. Selain radiasi elektromagnetik, dan mungkin radiasi gravitasional, yang bisa berjalan lewat ruang hampa udara, gelombang juga terdapat pada medium (yang karena perubahan bentuk dapat menghasilkan gaya pegas) di mana mereka dapat berjalan dan dapat memindahkan energi dari satu tempat kepada lain tanpa mengakibatkan partikel medium berpindah secara permanen; yaitu tidak ada perpindahan secara masal.

Suatu medium disebut:

1.       linear jika gelombang yang berbeda di semua titik tertentu di medium bisa dijumlahkan,

2.       terbatas jika terbatas, selain itu disebut tak terbatas

3.       seragam jika ciri fisiknya tidak berubah pada titik yang berbeda

4.       isotropik jika ciri fisiknya "sama" pada arah yang berbeda

B.        GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 

Gelombang Elektromagnetik adalah gelombang yang dapat merambat  walau tidak ada medium. Energi elektromagnetik merambat dalam gelombang dengan beberapa karakter yang bisa diukur, yaitu: panjang gelombang/wavelength, frekuensi, amplitude/amplitude, kecepatan. Amplitudo adalah tinggi gelombang, sedangkan panjang gelombang adalah jarak antara dua puncak. Frekuensi adalah jumlah gelombang yang melalui suatu titik dalam satu satuan waktu. Frekuensi tergantung dari kecepatan merambatnya gelombang. Karena kecepatan energi elektromagnetik adalah konstan (kecepatan cahaya), panjang gelombang dan frekuensi berbanding terbalik. Semakin panjang suatu gelombang, semakin rendah frekuensinya, dan semakin pendek suatu gelombang semakin tinggi frekuensinya.

Energi elektromagnetik dipancarkan, atau dilepaskan, oleh semua masa di alam semesta pada level yang berbedabeda. Semakin tinggi level energi dalam suatu sumber energi, semakin rendah panjang gelombang dari energi yang dihasilkan, dan semakin tinggi frekuensinya. Perbedaan karakteristik energi gelombang digunakan untuk mengelompokkan energi elektromagnetik.

Ciri-ciri gelombang elektromagnetik :
Dari uraian tersebut diatas dapat disimpulkan beberapa ciri gelombang elektromagnetik adalah sebagai berikut:

1.    Perubahan medan listrik dan medan magnetik terjadi pada saat yang bersamaan, sehingga kedua medan memiliki harga maksimum dan minimum pada saat yang sama dan pada tempat yang sama.

2.    Arah medan listrik dan medan magnetik saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus terhadap arah rambat gelombang.

3.    Gelombang elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

4.    Seperti halnya gelombang pada umumnya, gelombang elektromagnetik mengalami peristiwa pemantulan, pembiasan, interferensi, dan difraksi. Juga mengalami peristiwa polarisasi karena termasuk gelombang transversal.

5.    Cepat rambat gelombang elektromagnetik hanya bergantung pada sifat-sifat listrik dan magnetik medium yang ditempuhnya.

Cahaya yang tampak oleh mata bukan semata jenis yang memungkinkan radiasi elektromagnetik. Pendapat James Clerk Maxwell menunjukkan bahwa gelombang elektromagnetik lain, berbeda dengan cahaya yang tampak oleh mata dalam dia punya panjang gelombang dan frekuensi, bisa saja ada. Kesimpulan teoritis ini secara mengagumkan diperkuat oleh Heinrich Hertz, yang sanggup menghasilkan dan menemui kedua gelombang yang tampak oleh mata yang diramalkan oleh Maxwell itu. Beberapa tahun kemudian Guglielmo Marconi memperagakan bahwa gelombang yang tak terlihat mata itu dapat digunakan buat komunikasi tanpa kawat sehingga menjelmalah apa yang namanya radio itu. Kini, kita gunakan juga buat televisi, sinar X, sinar gamma, sinar infra, sinar ultraviolet adalah contoh-contoh dari radiasi elektromagnetik. Semuanya bisa dipelajari lewat hasil pemikiran Maxwell.

SUMBER GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

1. Osilasi listrik.
2. Sinar matahari ® menghasilkan sinar infra merah.
3. Lampu merkuri ® menghasilkan ultra violet.
4. Penembakan elektron dalam tabung hampa pada keping logam ® menghasilkan sinar X (digunakan untuk rontgen). 

SPEKTRUM GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

Spektrum elektromagnetik adalah rentang semua radiasi elektromagnetik yang mungkin. Spektrum elektromagnetik dapat dijelaskan dalam panjang gelombang, frekuensi, atau tenaga per foton.

Susunan semua bentuk gelombang elektromagnetik berdasarkan panjang gelombang dan frekuensinya disebut spektrum elektromagnetik. Gambar spectrum elektromagnetik di bawah disusun berdasarkan panjang gelombang (diukur dalam satuan _m) mencakup kisaran energi yang sangat rendah, dengan panjang gelombang tinggi dan frekuensi rendah, seperti gelombang radio sampai ke energi yang sangat tinggi, dengan panjang gelombang rendah dan frekuensi tinggi seperti radiasi X-ray dan Gamma Ray.  

Contoh spektrum elektromagnetik

Gelombang Radio

Gelombang radio dikelompokkan menurut panjang gelombang atau frekuensinya.

Gelombang mikro

Gelombang mikro (mikrowaves) adalah gelombang radio dengan frekuensi paling tinggi yaitu diatas 3 GHz.

Sinar Inframerah

Sinar inframerah meliputi daerah frekuensi 1011Hz sampai 1014 Hz atau daerah panjang gelombang 10-4 cm sampai 10-1 cm.

Cahaya tampak

Cahaya tampak sebagai radiasi elektromagnetik yang paling dikenal oleh kita dapat didefinisikan sebagai bagian dari spektrum gelombang elektromagnetik yang dapat dideteksi oleh mata manusia.

Sinar ultraviolet 

Sinar ultraviolet mempunyai frekuensi dalam daerah 1015 Hz sampai 1016 Hz atau dalam daerah panjang gelombagn 10-8 m 10-7 m.

Sinar X 

Sinar X mempunyai frekuensi antara 10 Hz sampai 10 Hz .  

Sinar Gamma

Sinar gamma mempunyai frekuensi antara 10 Hz sampai 10 Hz atau panjang gelombang antara 10 cm sampai 10 cm.

Read More

SISTEM BILANGAN

Sistem Bilangan

Bilangan Prima: Bilangan yang bukan satu tetapi hanya bisa dibagi dengan bilangan satu atau bilangan itu sendiri, contoh: 2,3,5,7,11,13.....dst

Bilangan Rasional: p/q, dengan syarat p = bulat, q= bulat dan q

Bilangan Irrasional ialah bilangan yang mempunyai interval tertentu secara berulang

Contoh : , gabungan antara irrasional dengan rasional disebut bilangan real dan gabungan antara real dan imajiner disebut bilangan kompleks.

Bil. Kompleks

      Bil. Real           Bil. Imajiner

                                                                                  

                                                              Rasional               irrasional

                                                                   

                                                      Bil. Bulat                      bil. negatip         

nol

                                                                                       bil. Positif

Bilangan real tertutup bagi operasi penjumlahan, perkalian, pembagian, pengurangan artinya bilangan real di jumlahkan, dikalikan, dibagi, dikurangi menghasilkan bilangan real juga.

Bilangan asli tertutup pada perkalian dan penjumlahan.

Bilangan Kompleks

Bilangan yang mengandung bilangan real dan bilangan imajiner

Contoh :  3+j4, 2-J5

Simbol j

Persamaan kuadratik  dapat diperoleh dengan rumus ,

Contoh:    diperoleh dengan

Selanjutnya persamaan  dengan cara yang sama, maka diperoleh

Sekarang akan di tentukan akar dari -64.  , sehingga bisa dituliskan sebagai berikut:

Jadi  karena

Pangkat dari J

Operasi Bilangan Kompleks

Pengurangan dan penjumlahan, contoh : ( 4 + j5 ) + ( 3 – j2 ) = 4 + j5 + 3 – 2

                                                                                                             = 7 + j3

( 4 + j7 ) – ( 2 – j5 ) = 4 + j7 – 2 - j5

                                  = 2 + j12

( 3 + j4 ) ( 2 + j5 ) = 6 +j8 + j15 + j²20

                              = 6 + j23 – 20 ( karena j² = -1)

                              = - 14 + j23

Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap

Contoh:    ( 3 + j4 ) (2 – j5 ) ( 1 –j2 ) = ( 6 + j8 – j15 – j²20)(1 – j2)

                                                              = ( 6 – j7 + 20 )(1 – j2)

                                                              = (26 – j7)( 1 –j2)

                                                              = 26 – j7 – j52 + j²14 = 26 – j59 -14 = 12 – j59

Jadi 2 buah atau lebih bilangan kompleks yang dijumlah, dikurang ataupun dikalikan menghasilkan bilangan kompleks juga.

Tinjau bilangan kompleks berikut ini:

                 (5 + j8 )(5- j8) = 25 + j40 – j40 – j²64

                                          = 25 + 64 = 89        diperoleh bil. Real

Catatan : hasil kali dua bilangan kompleks konjugat selalu menghasilkan bilangan real.

                                   Selisih dua bilangan kuadrat

                      Contoh:  (5 +j8)(5 –J8) = 5² – (j8)² = 5² – j²8²

                                                                                  = 5² + 8²     (j² = -1 )

                                                                                          = 5² + 64 = 89

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks

r

Y

                                                                   Bentuk baku a + jb

a

X

        0                          b                        misal :       r = Panjang vektor tersebut                 

                                                                                       = Sudut yang dibentuk dengan OX

                                                            Maka: 

                                                                             

                                                                                 a =         r cos           dan b = r sin

Karena Z = a +jb maka Z = r cos +jr sin  

                                                = r ( cos )    bentuk kutub dari a + jb

dengan

Contoh 1:      Nyatakan z= 4+j3 dalam bentuk kutub

Jawab:    = 16 + 9 = 25       r = 5

               

                 Sehingga:   Z = 4 + j3 = 5 ( cos 36,87 + j sin 36,87 )

Contoh 2:

                                                                  Y                          

                                4                        r                                                                

                                                  5              0          X

                                                                                                              

Sehingga   -5+j4 = 6,403 ( cos 141,34 + jsin 141,34) = 6,403  141,43

60

                                                                              3 ∟300 = 3 ( cos 300 + jsin 300)

                               3                                             Cos 300 = cos 60

                                                                              Sin 300 = - sin 60

                                                                              3∟300 = 3 ( cos 60 – jsin 60)

                 = 3 ( 0,5 – j0,866)

           = 1,5 – j 2,598

Bentuk Eksponen Bilangan Kompleks

Misal: 

             

             

Bila kita ambil deret untuk  dan menggantikan x dengan , maka;

            

                    

                       

                      )

                     

Dengan demikian r ( ) dapat dituliskan sebagai  bentuk tersebut disebut dengan eksponensial ( sudutnya harus dalam radian).

Contoh:       ubahlah bentuk kutub 5( cos 60 + jsin 60) menjadi bentuk ekponensial.

Jawab:         5 (cos 60 +jsin 60), r = 5

                                                          sehingga

Catatan:   

                  

Bila  Z =

Contoh: 

                                                                   

                Nyatakan  dalam bentuk a + jb

               Jawab:   

                                                   

                                                   

                                                   

               Catatan

               3 cara menyatakan bilangan kompleks:

-          Bentuk baku  z = a + jb

-          Bentuk kutub   z = r (

-          Bentuk Ekponensial 

                                                                  

                                             

                                                                  

Dengan kata lain:

]...dst

Sehingga    Teorema DeMoivre

Digunakan untuk mencari pangkat n dari suatu bilangan kompleks

Contoh:  untuk mencari akar pangkat dua dari  Z = ( cos 70 + jsin 70 )

                

                                    

                                    

Untuk mencari ketiga akar pangkat tiga dari Z = 5 ( cos 225 + jsin 225)

Akar yang pertama diberikan oleh

                                                                           

                                                                           

Akar yang lain mempunyai besar ( modulus ) yang sama, yaitu 1,7 dan tersebar dengan selang 360/3, yaitu 120.

Jadi ketiga akarnya adalah: 

                                                       

                                                       

Dalam diagram Argand

                                                       

 

                      

                                                         

                     Cari akar pangkat lima dari 12  300

                    

                       ∟ ∟60

                         Mencari harga

                                                                                                                    = 0,2158

                                                                               Diambil antilog A = 1,644

                      Jadi akar pertama dari kelima akarnya yaitu adalah

                      Akar yang lain akan mempunyai besar yang sama yaitu 1,644 dan dipisahkan dengan 

                      Sudut yang sama sebesar 360/5 yaitu 72

                      Jadi kelima akar pangkat lima dari 12  adalah:

                     

                           ( akar utama )

                        

Catatan

Akar pangkat dari bilangan dari bilangan kompleks dapat diperoleh dengan cara:

-          Teorema DeMoivre untuk memperoleh akar pertama dari n buah akar yang ada

-          Akar yang lain akan tersebar dalam diagram dengan selang teratur sebesar 360/n

Jadi sebuah bilangan kompleks memiliki:

-          2 buah akar kuadrat yang dipisahkan oleh sudut sebesar 360/2 yaitu 180

-          3  -------------------------.............................---------------------  360/3 yaitu 120

-          4 -------------------------..............................---------------------  360/4 yaitu 90  dst

® Akar utama ( principel root ), walaupun ada 5 buah akar pangkat lima dari suatu bilangan kompleks, kadang-kadang yang diminta hanyalah akar utamanya saja yaitu akar yang vektornya paling dekat dengam sumbu OX positif.

® Cos n  

Contoh:

1.       Carilah jawaban cos 3

Dengan 

Ruas kanan diurai ke dalam deret binomial seperti  sehingga

                                                                                  karena

                                                                                                                                                                          J³   = -j

                                                                                                                 

Samakan bagian riil dan bagian imajinernya, maka:

Bila:   ( 1 -   dan  maka:

)

                                                                       

                                                                                       

                                                                               

                                                                               

2.       Tentukan jabaran cos 4  dinyatakan dalam cos

Jawab:

       

                                         

                                         

                                                         

                                                         

Samakan bagian riilnya:

                                                                               

                                                                                

                                                                                

                                                                                 

Penjabaran  dinyatakan dalam sinus dan cosinus kelipatan-kelipatan.

Misal:              maka 

Sehingga:   

Teorema Demoivre:

           

Contoh:

Jabarkan

Jawab:      

                                                                                      

                                                                                      

,   karena :    :    ,       

                     

               

    

          

Soal Tempat Kedudukan

          Kadang-kadang kita ingin menentukan tempat kedudukan suatu titik yang bergerak dalam diagram argand dengan suatu syarat tertentu.

Contoh: 1. Jika Z = x +jy, tentukan  tempat kedudukan yang didefinisikan oleh l Zl = 5

Jawab:   

              Tempat kedudukan yang dimaksud diseret sebagai:

               

                                         Y

                                                                                                                                                         

5

                                                                          Tempat kedudukan

        X1                                                                  X              yaitu

                                                                                       Persamaan ini menyatakan lingkaran yang berpusat 

                                                                                       di titik asal  dan bejari-jari 5

                                          Y1

2.       Jika Z = x +jy, tentukan tempat kedudukan yang didefinisikan oleh arg Z =

Arg Z =

Sehingga

Jadi tempat kedudukan menurut arg Z =  adalah garis lurus y=x dengan y

 

                                                                               Arg Z =   yaitu y = x

 

3.       Jika Z = x + jy, tentukan persamaan tempat kedudukan bila

               Karena Z = x + jy,  maka   Z + 1 = x + jy + 1 = ( x + 1 ) + jy =

                                                  Z - 1 = x + jy - 1 = ( x - 1 ) + jy =

                   Sehingga  

                                     

                                      Maka    dan  

Telah diperoleh:

                                                                                      

                                                                                                                                

                                     Maka 

4.       Jika  Z = x +jy,  tentukanlah persamaan tempat kedudukan bila(

                Z = x + jy =

                                                  

                 Dengan teorema DeMoivre,  

                                                                     arg

                                                                    

                                                                Sehingga  

                                                                     2 tg

          tetapi  

                                           

5.       Jika x + jy, tentukan tempat kedudukan arg ( Z + 1 ) =

Jawab:   Z = x + jy               

arg  ( z + 1) =

                                                              

6.       Jika  z = x +jy, tentukan persamaan tempat kedudukan

                                                                        

                                                                        

                                                                        

                                                                        

PANGKAT DAN LOGARITMA

Pangkat

      Faktor yang diulang dengan basis yang sama yaitu: a x a x a x a  ditulis sebagai a⁴, angka 4 menunjukkan jumlah faktor yang dikalikan bersama. Secara umum dituliskan aⁿ , dengan  a disebut basis dan n adalah indeks atau eksponen. Jika pangkat juga mempunyai pengali numerik, pengali ini disebut koefisien.

Contoh :                                 3 disebut indeks, eksponen

                                                       5 koefisien, dan a basis

Aturan pangkat:

®     

®

®

®

®

® ,   sehingga dari hal tersebut bahwa:

Contoh:

Sederhanakan

                              

                              

                               

Logaritma

        Mis:      16 = 2⁴ maka 2 disebut basis pangkat dan 4 adalah indeks. Indeks 4 dapat juga  didefinisikan sebagai logaritma basis 2 dan ditulis sebagai 4 =

Dimana :     4 adalah indeks ( log basis 2)

                    2 basis dan 16 adalah bilangan

Secara umum, jika N = aⁿ, n = logaritma N dengan basis a. Basis logaritma ditunjukkan dengan a kecil pada ekor huruf g.

Aturan Logaritma

    Karena logaritma adalah bilangan pangkat basis yang diberikan, aturannya sangat mirip dengan aturan pangkat:

®

®

® 

Hasil penting berikut yang dipunyai dari aturan pangkat:

®  dari definisi logaritma,

®

®  

Jadi

Logaritma Biasa

Adalah logaritma dengan basis 10, misalnya 100 = 10²              atau     log 100 = 2

Bila log untuk basis yang lain, angka basis tetap disertakan,

misalnya  125 = 5²       

                  10 = 10¹           

                100 =  10²      

              1000 = 10³       

Log 275 terdapat antara 2 dan 3 yaitu log 275 = 2,4393, bagian bilangan bulat yaitu 2 disebut karakteristik sedangkan bagian desimal yaitu 0,4393 disebut mantisa .

Untuk bilangan positif yang lebih besar dari 1

-          Karakteristik + dan lebih kecil 1 dari digit bilangan sebelum koma desimal pada setiap angka

-          Mantisa selalu positif dan dapat dicari dari tabel logaritma / kalkulator

Untuk bilangan positif kurang dari 1

-          Karakteristik negatif dan lebih besar dari 1 dari bilangan nol yang mengikuti tanda koma desimal

-          Mantisa selalu positif

Misal     log 0,0624 = -1 + 0,2048 =

Anti Logaritma

Jika ,   N dikatakan sebagai antilogaritma n dengan basis a.

Misal:    

                  Logaritma dari 2 dengan basis 7 adalah bilangan 49 dan ditulis

                  Antilog dari 3 dengan basis 2 adalah 8 karena basis 2 diberikan pangkat 3 menghasilkan 8 = 3

Log 100 = 2        dengan basis 10  adalah  10² yaitu 100

Log 275 = 2,4393        antilog 2,4393 = 10^2,4393 = 275

Mengubah Basis Logaritma

Jika logaritma sebuah bilangan dengan basis a diketahui, logaritma bilangan yang sama ke basis yang berbeda b dapat ditentukan.

Contoh:  Untuk menentukan

                   

                                                             Jadi

                 Tentukan

                  Pertama-tama  

                  Kemudian    

Logaritma Natural ( Log. Napier)

Logaritma dengan basis 2,71828....dengan simbol e ( logaritma natur ) angka N ditulis atau Ln N.

Contoh: Untuk menentukan Ln 6,439

               

Antilogaritma logaritma natural ( AntiLn )

Jika              ( bentuk umum/definisi umum )

Jika Ln N = 3,1587  maka   N =

Bila mengubah kalkulator tidak memberikan pangkat e, maka:

                                                                                     

                                                                                     

                                                                                                                   

Persamaan Perpangkatan

Untuk menghitung nilai x dari

Pakai log ke dua sisi dan gunakan  diperoleh:

Selesaikan

(3x-2) log 4 = (x+1) log 26

(3x-2) . 0,6021 = (x+1) . 1,4150

1,8063x – 1,2042 = 1,4150x + 1,4150

(1,8063 – 1,4150)x = 1,4150 + 1,2042

                   0,3913x = 2,6192

                                  

Selesaikan

Log ( A x B ) = Log A + Log B

                                                      ...........lanjutkan mencari x

Selesaikan Persamaan 7(

                                                      ........... lnjutkan

                 

Fungsi dan Grafik

                             

Read More