This is default featured slide 1 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 2 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 3 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 4 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 5 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

Rabu, 16 April 2014

METODE PERBANDINGAN ORTHOGONAL



UJI PERBANDINGAN ORTOGONAL

Perbandingan Ortogonal terbagi atas dua bagian yaitu :                              
Ø  Kualitatif    Ortogonal  Kontras                                                                
Ø  Kuantitatif    Ortogonal Polinomial
( I ) PEMBANDINGAN ORTOGONAL KONTRAS
Ø  Sifat  Kualitatif
Ø  Dapat direncanakan sebelum percobaan dilakukan
Ø  Banyak pembandingan tidak lebih dari d.b. perlakuan
Ø  Pemilihan pembanding (kontras) disesuaikan tujuan penguraian perlakuan  dalam  komponen-komponennya  (pembanding-pembandingnya)

Pembanding didefinisikan sebagai anak-gugus (subset) dari fungsi linear
                             dengan     
Dimana Yi dapat berupa total perlakuan atau nilai tengah perlakuan. Sebuah pembanding (kontras) selalu mempunyai derajat bebas tunggal sehingga kita dapat menggunakan uji t maupun uji F sebagai statistic ujinya. Batasan bahwa adalah sangat penting. Untuk mempermudah penjelasannya maka perhatikan beberapa kaidah berikut.
Jika T1, T2 , … , dan Tt,, merupakan total perlakuan dari t buah perlakuan yang dicobakan dan masing-masing mempunyai ulangan yang sama sebanyak r , maka :
Kaidah 1 :
Besaran
Dimana koefisien ci adalah beberapa konstanta , merupakan suatu pembanding kontras jika jumlah dari semua ci sama dengan nol yaitu :


Kaidah 2 :
Jika L adalah salah satu pembanding di antara total perlakuan (T), maka jumlah kuadratnya adalah :

Kaidah 3 :
Dua pembanding, sebagai teladan :
Disebut orthogonal jika jumlah dari hasil kali koefisien-koefisien sama dengan nol, dengan demikian jika:

Kaidah 4 :
Jika ada p buah pembanding kontras dimana p lebih besar dari dua,sebagai teladan :
Disebut saling ortogonal jika setiap pasangn pembanding adalah ortogonal.

Kaidah 5 :
Untuk t-1 buah pembanding yang saling ortogonal dari t buah total perlakuan, maka jumlah kuadrat dari semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan. Dengan demikian :
= Jumlah kuadrat perlakuan (JKP)
Jika diperhatikan t-1 buah pembanding kontras sama saja dengan derajat bebas perlakuan yaitu t-1, sehingga pembanding ortogonal ini juga disebut sebagai pembanding derajat bebas tunggal.

Kaidah 6:
Jumlah pembanding maksimum saling ortogonal yang dapat dibentuk dari t buah total perlakuan adalah t-1 buah.
Untuk lebih memahami penggunaan metode ini, maka perhatikan teladan berikut.

Contoh :
Untuk menerapkan metode pembanding orthogonal kontras ini, perhatikan data dari tabel dibawah ini mengenai kekuatan kain tenun yang dihasilkan empat buah mesin pabrik.  Tabel 3.6 :

Peralatan Tenun
Total

1
2
3
4

98
91
96
95


97
90
95
96


99
93
97
99


96
92
95
98

Total Yi
390
366
383
388
1527 = Yoo
Rata-rata
97,5
91,5
95,75
97,0
95,44 =
Ulangan (ri)
4
4
4
4
16

Misalkan kita hanya berhadapan dengan empat buah mesin tersebut, yang berarti percobaan kita menggunakan model tetap. Karena perlakuan kita ada empat buah mesin, maka kita dapat melakukan atau menyusun tiga buah pembanding ortogonal (diperoleh dari t-1=4-1=3). Salah satu pembanding ortogonal yang dapat dibentuk adalah :
L1        =       M1                                                         -        M4
L2        =                          M2      -        M3
L3      =       M1      -        M2      -        M3      +       M4
Terlihat bahwa L masing-masing merupakan sebuah pembanding kontras, karena jumlah koefisien untuk L masing-masing sama dengan nol. Pembanding L1, membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat, pembanding L2 membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin kedua dan mesin ketiga, sedangkan Pembanding L3 , membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat dengan mesin kedua dan mesin ketiga.Untuk mengetahui apakah antara L1, L2, dan L3 saling ortogonal, maka kita dapat menyusun koefisien pembanding sebagai berikut :

M1
M2
M3
M4
L1
+1
0
0
-1
L2
0
+1
-1
0
L3
+1
-1
-1
+1

Jumlah hasil kali koefisien L1 dan L2 adalah :
Dengn demikian L1 dan L2  saling ortogonal. Jumlah hasil kali koefisien L1  dengan L3  adalah
Sehingga L1 dan L3  juga saling ortogonal. Jumlah hasil kali koefisien L2 dengan L3 adalah
Sehingga L2 dan L3  juga saling ortogonal. Dengan demikian L1, L2, dan L3 saling ortogonal.
Berdasarkan penyusunan pembanding ortogonal diatas, kita dapat menguji 3 hipotesis berikut :
1.      Ho   :    M1 = M4    atau  M1  -  M4  =  0 ; yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kesatu dan mesin keempat.
2.       H0  :    M2 = M3    atau  M2  -  M3  =  0 ; yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kedua dan mesin ketiga.
3.      Ho   : ( M1 + M4 )   =  ( M2 + M3 )    ;  atau   M1 – M2 – M3 + M4 = 0 .yang berarti tidak ada perbedaan antara total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kesatu dan keempat dengan total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kedua dan mesin ketiga.
          Untuk perhitugan digunakan nilai total perlakuan.
          Jumlah kuadrat masing-masing pembanding kontras adalah :
          Karena L1 mempunyai derajat bebas = 1 , maka  akan mempunyai nilai yang sama dengan . Nilai Fhitung  diperoleh dari  .
Nilai KTG diperoleh dari analisis ragam yang telah dilakukan dan disajikan dalam tabel 3.7 di bagian depan. Nilai  Fhitung  diuji dengan menggunakan statistic uji F dengan db galat = 12 (lihat tabel 3.7). Nilai F0,05 yang diambil dari tabel lampiran 5, untuk f1 = 1 dan f2 = 12 adalah 4,75; karena nilai Fhitung  = 0,263 lebih kecil dari F0,05(1;12) = 4,75 maka Ho diterima, yang berari tidak ada perbedaan antara kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan mesin keempat .
                                          
Karena Fhitung = 19,01 lebih besar dari F0,01(1;12) = 9,33 , maka Ho ditolak, yang berarti ada perbedaan kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kedua dengan mesin ketiga.
                                         
Karena Fhitung = 27,66 lebih besar dari F0,01(1;12) = 9,33 , maka Ho ditolak, yang berarti ada perbedaan yang sangat nyata pada taraf alpha = 1% antara kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan keempat dengan mesin kedua dan ketiga.
Jika hasil perhitungan diatas disajikan kembali dalam tabel maka akan terlihat seperti pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1.  Informasi pembanding untuk Data pada tabel 3.6.
Pembanding
Nama mesin dan nilai total
L2
M1
M2
M3
M4
1
+1
0
0
-1
4
4(2)
0,5
2
0
+1
-1
0
289
4(2)
36,125
3
+1
-1
-1
+1
841
4(2)
52,5625
      Dari tabel lampiran 5, untuk f1 = 1 dan  f2 = 12 diperoleh
                          dan   
      Keterangan : tn   =   tidak nyata pada taraf 5%          ( p > 0,05)
                          **  =   sangat nyata pada taraf 1%         ( p < 0,01 )
Dari hasil pembandingan ortogonal ini kita dapat menyusun kembali tebel analisis ragam dalam bentuk yang lain seperti terlihat pada Tabel 4.2

Tabel 4.2 Analisis Ragam dan Pembanding Orthogonal untk Data dalam Tabel 3.6
Sumber Keragaman
DB
JK
KT
Fhitung
Ftabel
5%
1%
Perlakuan (mesin)
3
89,19
29,73
15,65**
3,49
5,95
Pembanding L1
1
0,50
0,50
0,26tn
4,75
9,33
Pembanding L2
1
36,13
36,13
19,01**
4,75
9,33
Pembanding L3
1
52,56
52,56
27,66
4,75
9,33
Galat
12
22,75
1,90



Total
15
111,94





Keterangan : tn   =   tidak nyata pada taraf 5%          ( p > 0,05 )
                     **  =   sangat nyata pada taraf 1%         ( p < 0,01 )

Dari tabel di atas terlihat jelas bahwa jumlah kuadrat dari pembanding L1 , L2 , dan L3  sama dengan jumlah kuadrat perlakuan.
Dimana :
                                                               =    89,19   =   JKP
Jika setiap perlakuan yang dicobakan mempunyai jumlah ulangan yang tidak sama, dimana perlakuan ke-i  diulang sebanyak ri , untuk i=1,2,…,t, maka pembanding linear L didefinisikan sebagai :
                              dengan   
Disini Yi adalah nilai total dari perlakuan ke-i, sedangkan  adalah nilai tengah perlakuan ke-i. Dua pembanding L1 dan L2  dikatakan orthogonal bila . Untuk pengujian pembandingan ortogonalini dapat menggunakan uji F, dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kuadrat dari pembanding sebagai berikut :
Proses pengujian sama seperti yang dijelaskan diatas.















(II).  PEMBANDINGAN  ORTOGONAL  POLINOMIAL
Ø Sifat kuantitatif (perlakuan merupakan level suatu faktor,antara perlakuan  satu  dan perlakuan  berikutnya berjarak tetap).
Ø Bertujuan melihat respon perlakuan yang diberikan → berupa persamaan atau fungsi dan digunakan untuk menguji trend pengaruh perlakuan terhadap respon (linier, kuadratik, kubik, dst)
Ø Komponen-komponen perlakuan adalah tingkatan persamaan atau kurva respon berbentuk regresi yang mungkin terjadi.
Ø Banyaknya kurva respon umumnya sampai dengan fungsi polynomial berderajat k.
Bentuk Model:
       Linier                                 è Yi = b0 + b1 Xi + eI
       Kuadratik                          è Yi = b0 + b1 Xi + b2 Xi2 + ei
       Kubik                                 è Yi = b0 + b1 Xi + b2 Xi2 + b3 Xi3 + ei
Bentuk umum polinomial ordo ke-n adalah:
       Y = a0P0(X) + a1P1(X) + a2P2(X) + … + anPn(X) + ei

Kekuatan kertas
Konsentrasi
(Kadar bahan kayu)
(%)
Pengamatan
Total
Rata-rata
1
2
3
4
5
5
7
7
15
11
9
49
9,8
10
12
17
12
18
18
77
15,4
15
14
18
18
19
19
88
17,6
20
19
25
22
19
23
108
21,6
25
7
10
11
15
11
54
10,8
Total





376
75,2




          Sidik  Ragam  Uji  Kekuatan  Kertas
SK
Db
JK
KT
Fhitung
tabel
0,05
0,01
Perlakuan
4
475,76
118,94
14,76**
2,87
4,43
Galat
20
161,20
8,06



Total
24
636,96





         
Uji BNJ
Perlakuan (Kons.b.k)
Rata-rata perlakuan
Beda
BNJ 5%
20%
21,6
11,8*
10,8*
6,2*
4,0
5,4
15%
17,6
7,8*
6,8*
2,2


10%
15,4
5,6*
4,6



25%
10,8
1,0




5%
9,8







Koefisien orthogonal polinomial untuk 5 perlakuan
Respon (derajat polinomial)
Koefisien Ortogonal Polinomial
Jumlah Kuadrat Koefisien
Perlakuan dan Total
(5%)
(10%)
(15%)
(20%)
(25%)
49
77
88
108
54
Linier
-2
-1
0
1
2
10
Kuadratik
2
-1
-2
-1
2
14
Kubik
-1
2
0
-2
-1
10
Kuartik
1
-4
6
-4
1
70



 
                                               

          

               


Uji Respon Melalui Sidik Ragam
SK
d.b.
JK
KT
Fhitung
Ftabel
0,05
0,01
Perlakuan
4
475,76
118,94



Linier
1
33,62
33,62
4,17
4,25
8,10
Kuadratik
1
343,21
343,21
42,58**


Kubik
1
64,98
64,98
8,06**


Kuartik
1
33,95
33,95
4,21


Galat
20
161,20
8,06



Total
24
636,96





Jadi respon perlakuan terhadap kekuatan kertas merupakan bentuk regresi kubik..