METODE PERBANDINGAN ORTHOGONAL

UJI PERBANDINGAN ORTOGONAL

Perbandingan Ortogonal terbagi atas dua bagian yaitu :                              

Ø  Kualitatif  →  Ortogonal  Kontras                                                                

Ø  Kuantitatif  →  Ortogonal Polinomial

( I ) PEMBANDINGAN ORTOGONAL KONTRAS

Ø  Sifat  Kualitatif

Ø  Dapat direncanakan sebelum percobaan dilakukan

Ø  Banyak pembandingan tidak lebih dari d.b. perlakuan

Ø  Pemilihan pembanding (kontras) disesuaikan tujuan penguraian perlakuan  dalam  komponen-komponennya  (pembanding-pembandingnya)

Pembanding didefinisikan sebagai anak-gugus (subset) dari fungsi linear

                             dengan     

Dimana Y_i dapat berupa total perlakuan atau nilai tengah perlakuan. Sebuah pembanding (kontras) selalu mempunyai derajat bebas tunggal sehingga kita dapat menggunakan uji t maupun uji F sebagai statistic ujinya. Batasan bahwa adalah sangat penting. Untuk mempermudah penjelasannya maka perhatikan beberapa kaidah berikut.

Jika T_1, T_{2 , … ,} dan T_t,, merupakan total perlakuan dari t buah perlakuan yang dicobakan dan masing-masing mempunyai ulangan yang sama sebanyak r , maka :

Kaidah 1 :

Besaran

Dimana koefisien c_i adalah beberapa konstanta , merupakan suatu pembanding kontras jika jumlah dari semua c_i sama dengan nol yaitu :

Kaidah 2 :

Jika L adalah salah satu pembanding di antara total perlakuan (T), maka jumlah kuadratnya adalah :

Kaidah 3 :

Dua pembanding, sebagai teladan :

Disebut orthogonal jika jumlah dari hasil kali koefisien-koefisien sama dengan nol, dengan demikian jika:

Kaidah 4 :

Jika ada p buah pembanding kontras dimana p lebih besar dari dua,sebagai teladan :

Disebut saling ortogonal jika setiap pasangn pembanding adalah ortogonal.

Kaidah 5 :

Untuk t-1 buah pembanding yang saling ortogonal dari t buah total perlakuan, maka jumlah kuadrat dari semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan. Dengan demikian :

= Jumlah kuadrat perlakuan (JKP)

Jika diperhatikan t-1 buah pembanding kontras sama saja dengan derajat bebas perlakuan yaitu t-1, sehingga pembanding ortogonal ini juga disebut sebagai pembanding derajat bebas tunggal.

Kaidah 6:

Jumlah pembanding maksimum saling ortogonal yang dapat dibentuk dari t buah total perlakuan adalah t-1 buah.

Untuk lebih memahami penggunaan metode ini, maka perhatikan teladan berikut.

Contoh :

Untuk menerapkan metode pembanding orthogonal kontras ini, perhatikan data dari tabel dibawah ini mengenai kekuatan kain tenun yang dihasilkan empat buah mesin pabrik.  Tabel 3.6 :

	Peralatan Tenun				Total
	1	2	3	4
	98	91	96	95
	97	90	95	96
	99	93	97	99
	96	92	95	98
Total Yi	390	366	383	388	1527 = Yoo
Rata-rata	97,5	91,5	95,75	97,0	95,44 =
Ulangan (ri)	4	4	4	4	16

Misalkan kita hanya berhadapan dengan empat buah mesin tersebut, yang berarti percobaan kita menggunakan model tetap. Karena perlakuan kita ada empat buah mesin, maka kita dapat melakukan atau menyusun tiga buah pembanding ortogonal (diperoleh dari t-1=4-1=3). Salah satu pembanding ortogonal yang dapat dibentuk adalah :

L₁        =       M₁                                                         -        M₄

L₂        =                          M₂      -        M₃

L₃      =       M₁      -        M₂      -        M₃      +       M₄

Terlihat bahwa L masing-masing merupakan sebuah pembanding kontras, karena jumlah koefisien untuk L masing-masing sama dengan nol. Pembanding L₁, membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat, pembanding L₂ membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin kedua dan mesin ketiga, sedangkan Pembanding L₃ , membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat dengan mesin kedua dan mesin ketiga.Untuk mengetahui apakah antara L₁, L₂, dan L₃ saling ortogonal, maka kita dapat menyusun koefisien pembanding sebagai berikut :

	M1	M2	M3	M4
L1	+1	0	0	-1
L2	0	+1	-1	0
L3	+1	-1	-1	+1

Jumlah hasil kali koefisien L₁ dan L₂ adalah :

Dengn demikian L₁ dan L₂  saling ortogonal. Jumlah hasil kali koefisien L₁  dengan L₃  adalah

Sehingga L₁ dan L₃  juga saling ortogonal. Jumlah hasil kali koefisien L₂ dengan L₃ adalah

Sehingga L₂ dan L₃  juga saling ortogonal. Dengan demikian L₁, L₂, dan L₃ saling ortogonal.

Berdasarkan penyusunan pembanding ortogonal diatas, kita dapat menguji 3 hipotesis berikut :

1.      H_o   :    M₁ = M₄    atau  M₁  -  M₄  =  0 ; yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kesatu dan mesin keempat.

2.       H₀  :    M₂ = M₃    atau  M₂  -  M₃  =  0 ; yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kedua dan mesin ketiga.

3.      H_o   : ( M₁ + M₄ )   =  ( M₂ + M₃ )    ;  atau   M₁ – M₂ – M₃ + M₄ = 0 .yang berarti tidak ada perbedaan antara total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kesatu dan keempat dengan total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kedua dan mesin ketiga.

          Untuk perhitugan digunakan nilai total perlakuan.

          Jumlah kuadrat masing-masing pembanding kontras adalah :

          Karena L₁ mempunyai derajat bebas = 1 , maka  akan mempunyai nilai yang sama dengan . Nilai F_hitung  diperoleh dari  .

Nilai KTG diperoleh dari analisis ragam yang telah dilakukan dan disajikan dalam tabel 3.7 di bagian depan. Nilai  F_hitung  diuji dengan menggunakan statistic uji F dengan db galat = 12 (lihat tabel 3.7). Nilai F_0,05 yang diambil dari tabel lampiran 5, untuk f₁ = 1 dan f₂ = 12 adalah 4,75; karena nilai F_hitung  = 0,263 lebih kecil dari F_0,05(1;12) = 4,75 maka H_o diterima, yang berari tidak ada perbedaan antara kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan mesin keempat .

                                          

Karena F_hitung = 19,01 lebih besar dari F_0,01(1;12) = 9,33 , maka H_o ditolak, yang berarti ada perbedaan kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kedua dengan mesin ketiga.

                                         

Karena F_hitung = 27,66 lebih besar dari F_0,01(1;12) = 9,33 , maka H_o ditolak, yang berarti ada perbedaan yang sangat nyata pada taraf alpha = 1% antara kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan keempat dengan mesin kedua dan ketiga.

Jika hasil perhitungan diatas disajikan kembali dalam tabel maka akan terlihat seperti pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1.  Informasi pembanding untuk Data pada tabel 3.6.

Pembanding	Nama mesin dan nilai total				L2
	M1	M2	M3	M4
1	+1	0	0	-1	4	4(2)	0,5
2	0	+1	-1	0	289	4(2)	36,125
3	+1	-1	-1	+1	841	4(2)	52,5625
Dari tabel lampiran 5, untuk f1 = 1 dan  f2 = 12 diperoleh
dan
Keterangan : tn   =   tidak nyata pada taraf 5%          ( p > 0,05)
**  =   sangat nyata pada taraf 1%         ( p < 0,01 )

Dari hasil pembandingan ortogonal ini kita dapat menyusun kembali tebel analisis ragam dalam bentuk yang lain seperti terlihat pada Tabel 4.2

Tabel 4.2 Analisis Ragam dan Pembanding Orthogonal untk Data dalam Tabel 3.6

Sumber Keragaman	DB	JK	KT	Fhitung	Ftabel
					5%	1%
Perlakuan (mesin)	3	89,19	29,73	15,65**	3,49	5,95
Pembanding L1	1	0,50	0,50	0,26tn	4,75	9,33
Pembanding L2	1	36,13	36,13	19,01**	4,75	9,33
Pembanding L3	1	52,56	52,56	27,66	4,75	9,33
Galat	12	22,75	1,90
Total	15	111,94

Keterangan : tn   =   tidak nyata pada taraf 5%          ( p > 0,05 )

                     **  =   sangat nyata pada taraf 1%         ( p < 0,01 )

Dari tabel di atas terlihat jelas bahwa jumlah kuadrat dari pembanding L_{1 ,} L_{2 ,} dan L₃  sama dengan jumlah kuadrat perlakuan.

Dimana :

                                                               =    89,19   =   JKP

Jika setiap perlakuan yang dicobakan mempunyai jumlah ulangan yang tidak sama, dimana perlakuan ke-i  diulang sebanyak r_i , untuk i=1,2,…,t, maka pembanding linear L didefinisikan sebagai :

                              dengan   

Disini Y_i adalah nilai total dari perlakuan ke-i, sedangkan  adalah nilai tengah perlakuan ke-i. Dua pembanding L₁ dan L₂  dikatakan orthogonal bila . Untuk pengujian pembandingan ortogonalini dapat menggunakan uji F, dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kuadrat dari pembanding sebagai berikut :

Proses pengujian sama seperti yang dijelaskan diatas.

(II).  PEMBANDINGAN  ORTOGONAL  POLINOMIAL

Ø Sifat kuantitatif (perlakuan merupakan level suatu faktor,antara perlakuan  satu  dan perlakuan  berikutnya berjarak tetap).

Ø Bertujuan melihat respon perlakuan yang diberikan → berupa persamaan atau fungsi dan digunakan untuk menguji trend pengaruh perlakuan terhadap respon (linier, kuadratik, kubik, dst)

Ø Komponen-komponen perlakuan adalah tingkatan persamaan atau kurva respon berbentuk regresi yang mungkin terjadi.

Ø Banyaknya kurva respon umumnya sampai dengan fungsi polynomial berderajat k.

Bentuk Model:

       Linier                                 è Y_i = b₀ + b₁ X_i + e_I

       Kuadratik                          è Y_i = b₀ + b₁ X_i + b₂ X_i² + e_i

       Kubik                                 è Y_i = b₀ + b₁ X_i + b₂ X_i² + b₃ X_i³ + e_i

Bentuk umum polinomial ordo ke-n adalah:

       Y = a₀P₀(X) + a₁P₁(X) + a₂P₂(X) + … + a_nP_n(X) + e_i

Kekuatan kertas

Konsentrasi (Kadar bahan kayu) (%)	Pengamatan					Total	Rata-rata
	1	2	3	4	5
5	7	7	15	11	9	49	9,8
10	12	17	12	18	18	77	15,4
15	14	18	18	19	19	88	17,6
20	19	25	22	19	23	108	21,6
25	7	10	11	15	11	54	10,8
Total						376	75,2

          Sidik  Ragam  Uji  Kekuatan  Kertas

SK	Db	JK	KT	Fhitung	F­tabel
					0,05	0,01
Perlakuan	4	475,76	118,94	14,76**	2,87	4,43
Galat	20	161,20	8,06
Total	24	636,96

         

Uji BNJ

Perlakuan (Kons.b.k)	Rata-rata perlakuan	Beda				BNJ 5%
20%	21,6	11,8*	10,8*	6,2*	4,0	5,4
15%	17,6	7,8*	6,8*	2,2
10%	15,4	5,6*	4,6
25%	10,8	1,0
5%	9,8

Koefisien orthogonal polinomial untuk 5 perlakuan

Respon (derajat polinomial)	Koefisien Ortogonal Polinomial					Jumlah Kuadrat Koefisien
	Perlakuan dan Total
	(5%)	(10%)	(15%)	(20%)	(25%)
	49	77	88	108	54
Linier	-2	-1	0	1	2	10
Kuadratik	2	-1	-2	-1	2	14
Kubik	-1	2	0	-2	-1	10
Kuartik	1	-4	6	-4	1	70

 

                                               

          

               

Uji Respon Melalui Sidik Ragam

SK	d.b.	JK	KT	Fhitung	Ftabel
					0,05	0,01
Perlakuan	4	475,76	118,94
Linier	1	33,62	33,62	4,17	4,25	8,10
Kuadratik	1	343,21	343,21	42,58**
Kubik	1	64,98	64,98	8,06**
Kuartik	1	33,95	33,95	4,21
Galat	20	161,20	8,06
Total	24	636,96

Jadi respon perlakuan terhadap kekuatan kertas merupakan bentuk regresi kubik..