UJI PERBANDINGAN ORTOGONAL
Perbandingan
Ortogonal terbagi atas dua bagian yaitu :
Ø
Kualitatif → Ortogonal
Kontras
Ø
Kuantitatif → Ortogonal Polinomial
( I ) PEMBANDINGAN
ORTOGONAL KONTRAS
Ø Sifat Kualitatif
Ø Dapat
direncanakan sebelum percobaan dilakukan
Ø Banyak
pembandingan tidak lebih dari d.b. perlakuan
Ø Pemilihan
pembanding (kontras) disesuaikan tujuan penguraian perlakuan dalam
komponen-komponennya
(pembanding-pembandingnya)
Pembanding didefinisikan sebagai
anak-gugus (subset) dari fungsi linear
dengan
Dimana Yi
dapat berupa total perlakuan atau nilai tengah perlakuan. Sebuah pembanding
(kontras) selalu mempunyai derajat bebas tunggal sehingga kita dapat
menggunakan uji t maupun uji F sebagai statistic ujinya. Batasan bahwa
adalah sangat penting. Untuk
mempermudah penjelasannya maka perhatikan beberapa kaidah berikut.
Jika T1,
T2 , … , dan Tt,, merupakan total perlakuan dari t buah
perlakuan yang dicobakan dan masing-masing mempunyai ulangan yang sama sebanyak
r , maka :
Kaidah 1 :
Besaran
Dimana koefisien
ci adalah beberapa konstanta , merupakan suatu pembanding kontras
jika jumlah dari semua ci sama dengan nol yaitu :
Kaidah 2 :
Jika L adalah
salah satu pembanding di antara total perlakuan (T), maka jumlah kuadratnya
adalah :
Kaidah 3 :
Dua pembanding,
sebagai teladan :
Disebut
orthogonal jika jumlah dari hasil kali koefisien-koefisien sama dengan nol,
dengan demikian jika:
Kaidah 4 :
Jika ada p buah
pembanding kontras dimana p lebih besar dari dua,sebagai teladan :
Disebut saling
ortogonal jika setiap pasangn pembanding adalah ortogonal.
Kaidah 5 :
Untuk t-1 buah pembanding
yang saling ortogonal dari t buah total perlakuan, maka jumlah kuadrat dari
semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan.
Dengan demikian :
= Jumlah kuadrat
perlakuan (JKP)
Jika
diperhatikan t-1 buah pembanding kontras sama saja dengan derajat bebas
perlakuan yaitu t-1, sehingga pembanding ortogonal ini juga disebut sebagai
pembanding derajat bebas tunggal.
Kaidah 6:
Jumlah
pembanding maksimum saling ortogonal yang dapat dibentuk dari t buah total
perlakuan adalah t-1 buah.
Untuk lebih
memahami penggunaan metode ini, maka perhatikan teladan berikut.
Contoh :
Untuk menerapkan
metode pembanding orthogonal kontras ini, perhatikan data dari tabel dibawah
ini mengenai kekuatan kain tenun yang dihasilkan empat buah mesin pabrik. Tabel 3.6 :
|
|
Peralatan
Tenun
|
Total
|
|||
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
|
98
|
91
|
96
|
95
|
|
|
|
97
|
90
|
95
|
96
|
|
|
|
99
|
93
|
97
|
99
|
|
|
|
96
|
92
|
95
|
98
|
|
|
Total Yi
|
390
|
366
|
383
|
388
|
1527
= Yoo
|
|
Rata-rata
|
97,5
|
91,5
|
95,75
|
97,0
|
95,44
=
|
|
Ulangan (ri)
|
4
|
4
|
4
|
4
|
16
|
Misalkan kita
hanya berhadapan dengan empat buah mesin tersebut, yang berarti percobaan kita
menggunakan model tetap. Karena perlakuan kita ada empat buah mesin, maka kita dapat
melakukan atau menyusun tiga buah pembanding ortogonal (diperoleh dari t-1=4-1=3).
Salah satu pembanding ortogonal yang dapat dibentuk adalah :
L1 = M1 - M4
L2 = M2 - M3
L3 = M1 - M2 - M3 + M4
Terlihat bahwa L masing-masing
merupakan sebuah pembanding kontras, karena jumlah koefisien untuk L
masing-masing sama dengan nol. Pembanding L1, membandingkan antara
total (atau rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat, pembanding L2
membandingkan antara total (atau rata-rata) perlakuan mesin kedua dan mesin
ketiga, sedangkan Pembanding L3 , membandingkan antara total (atau
rata-rata) perlakuan mesin ke satu dan mesin keempat dengan mesin kedua dan
mesin ketiga.Untuk mengetahui apakah antara L1, L2, dan L3
saling ortogonal, maka kita dapat menyusun koefisien pembanding sebagai berikut
:
|
|
M1
|
M2
|
M3
|
M4
|
|
L1
|
+1
|
0
|
0
|
-1
|
|
L2
|
0
|
+1
|
-1
|
0
|
|
L3
|
+1
|
-1
|
-1
|
+1
|
Jumlah hasil
kali koefisien L1 dan L2 adalah :
Dengn demikian L1
dan L2 saling ortogonal.
Jumlah hasil kali koefisien L1 dengan L3 adalah
Sehingga L1
dan L3 juga saling ortogonal.
Jumlah hasil kali koefisien L2 dengan L3 adalah
Sehingga L2
dan L3 juga saling ortogonal.
Dengan demikian L1, L2, dan L3 saling ortogonal.
Berdasarkan
penyusunan pembanding ortogonal diatas, kita dapat menguji 3 hipotesis berikut
:
1. Ho : M1
= M4 atau M1 - M4 = 0 ;
yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kesatu dan mesin keempat.
2. H0 : M2 = M3 atau M2 - M3 = 0 ;
yang berarti tidak ada perbedaan antara mesin kedua dan mesin ketiga.
3. Ho : ( M1 + M4 ) = ( M2
+ M3 ) ;
atau M1 – M2
– M3 + M4 = 0 .yang berarti tidak ada perbedaan antara
total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kesatu dan keempat dengan
total perlakuan (atau nilai tengah perlakuan) mesin kedua dan mesin ketiga.
Untuk perhitugan digunakan nilai total
perlakuan.
Jumlah kuadrat masing-masing
pembanding kontras adalah :
Karena L1 mempunyai derajat
bebas = 1 , maka
akan mempunyai nilai yang sama dengan
. Nilai Fhitung diperoleh dari
.
Nilai
KTG diperoleh dari analisis ragam yang telah dilakukan dan disajikan dalam
tabel 3.7 di bagian depan. Nilai Fhitung
diuji dengan menggunakan statistic
uji F dengan db galat = 12 (lihat tabel 3.7). Nilai F0,05 yang
diambil dari tabel lampiran 5, untuk f1 = 1 dan f2 = 12
adalah 4,75; karena nilai Fhitung = 0,263 lebih kecil dari F0,05(1;12)
= 4,75 maka Ho diterima, yang berari tidak ada perbedaan antara
kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan mesin keempat .
Karena
Fhitung = 19,01 lebih besar dari F0,01(1;12) = 9,33 ,
maka Ho ditolak, yang berarti ada perbedaan kekuatan kain tenun yang
dihasilkan mesin kedua dengan mesin ketiga.
Karena
Fhitung = 27,66 lebih besar dari F0,01(1;12) = 9,33 ,
maka Ho ditolak, yang berarti ada perbedaan yang sangat nyata pada
taraf alpha = 1% antara kekuatan kain tenun yang dihasilkan mesin kesatu dan
keempat dengan mesin kedua dan ketiga.
Jika
hasil perhitungan diatas disajikan kembali dalam tabel maka akan terlihat
seperti pada Tabel 4.1.
Tabel
4.1. Informasi pembanding untuk Data
pada tabel 3.6.
|
Pembanding
|
Nama
mesin dan nilai total
|
L2
|
|
|
|
|||
|
M1
|
M2
|
M3
|
M4
|
|||||
|
1
|
+1
|
0
|
0
|
-1
|
4
|
4(2)
|
0,5
|
|
|
2
|
0
|
+1
|
-1
|
0
|
289
|
4(2)
|
36,125
|
|
|
3
|
+1
|
-1
|
-1
|
+1
|
841
|
4(2)
|
52,5625
|
|
|
Dari tabel lampiran 5, untuk f1
= 1 dan f2 = 12 diperoleh
|
||||||||
|
dan
|
||||||||
|
Keterangan : tn =
tidak nyata pada taraf 5%
( p > 0,05)
|
||||||||
|
**
= sangat nyata pada taraf
1% ( p
< 0,01 )
|
||||||||
Dari
hasil pembandingan ortogonal ini kita dapat menyusun kembali tebel analisis
ragam dalam bentuk yang lain seperti terlihat pada Tabel 4.2
Tabel
4.2 Analisis Ragam dan Pembanding Orthogonal untk Data dalam Tabel 3.6
|
Sumber
Keragaman
|
DB
|
JK
|
KT
|
Fhitung
|
Ftabel
|
|
|
5%
|
1%
|
|||||
|
Perlakuan
(mesin)
|
3
|
89,19
|
29,73
|
15,65**
|
3,49
|
5,95
|
|
Pembanding
L1
|
1
|
0,50
|
0,50
|
0,26tn
|
4,75
|
9,33
|
|
Pembanding
L2
|
1
|
36,13
|
36,13
|
19,01**
|
4,75
|
9,33
|
|
Pembanding
L3
|
1
|
52,56
|
52,56
|
27,66
|
4,75
|
9,33
|
|
Galat
|
12
|
22,75
|
1,90
|
|
|
|
|
Total
|
15
|
111,94
|
|
|
|
|
Keterangan
: tn =
tidak nyata pada taraf 5%
( p > 0,05 )
** =
sangat nyata pada taraf 1% ( p
< 0,01 )
Dari
tabel di atas terlihat jelas bahwa jumlah kuadrat dari pembanding L1 , L2
, dan L3 sama dengan
jumlah kuadrat perlakuan.
Dimana
:
=
89,19 = JKP
Jika
setiap perlakuan yang dicobakan mempunyai jumlah ulangan yang tidak sama,
dimana perlakuan ke-i diulang sebanyak ri
, untuk i=1,2,…,t, maka pembanding linear L didefinisikan sebagai :
dengan
Disini
Yi adalah nilai total dari perlakuan ke-i, sedangkan
adalah nilai tengah perlakuan ke-i. Dua
pembanding L1 dan L2 dikatakan orthogonal bila
. Untuk pengujian pembandingan ortogonalini
dapat menggunakan uji F, dengan terlebih dahulu menghitung jumlah kuadrat dari
pembanding sebagai berikut :
Proses
pengujian sama seperti yang dijelaskan diatas.
(II). PEMBANDINGAN
ORTOGONAL POLINOMIAL
Ø Sifat
kuantitatif (perlakuan merupakan level suatu faktor,antara perlakuan satu
dan perlakuan berikutnya berjarak
tetap).
Ø Bertujuan
melihat respon perlakuan yang diberikan → berupa persamaan atau fungsi dan digunakan
untuk menguji trend pengaruh perlakuan terhadap respon (linier, kuadratik,
kubik, dst)
Ø Komponen-komponen
perlakuan adalah tingkatan persamaan atau kurva respon berbentuk regresi yang mungkin
terjadi.
Ø Banyaknya
kurva respon umumnya sampai dengan fungsi polynomial berderajat k.
Bentuk
Model:
Linier è
Yi = b0 + b1 Xi + eI
Kuadratik è
Yi = b0 + b1 Xi + b2 Xi2
+ ei
Kubik è
Yi = b0 + b1 Xi + b2 Xi2
+ b3 Xi3 + ei
Bentuk
umum polinomial ordo ke-n adalah:
Y = a0P0(X)
+ a1P1(X)
+ a2P2(X)
+ … + anPn(X)
+ ei
Kekuatan
kertas
|
Konsentrasi
(Kadar
bahan kayu)
(%)
|
Pengamatan
|
Total
|
Rata-rata
|
||||
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|||
|
5
|
7
|
7
|
15
|
11
|
9
|
49
|
9,8
|
|
10
|
12
|
17
|
12
|
18
|
18
|
77
|
15,4
|
|
15
|
14
|
18
|
18
|
19
|
19
|
88
|
17,6
|
|
20
|
19
|
25
|
22
|
19
|
23
|
108
|
21,6
|
|
25
|
7
|
10
|
11
|
15
|
11
|
54
|
10,8
|
|
Total
|
|
|
|
|
|
376
|
75,2
|
Sidik Ragam Uji
Kekuatan Kertas
|
SK
|
Db
|
JK
|
KT
|
Fhitung
|
Ftabel
|
|
|
0,05
|
0,01
|
|||||
|
Perlakuan
|
4
|
475,76
|
118,94
|
14,76**
|
2,87
|
4,43
|
|
Galat
|
20
|
161,20
|
8,06
|
|
|
|
|
Total
|
24
|
636,96
|
|
|
|
|
Uji
BNJ
|
Perlakuan
(Kons.b.k)
|
Rata-rata
perlakuan
|
Beda
|
BNJ
5%
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
20%
|
21,6
|
11,8*
|
10,8*
|
6,2*
|
4,0
|
5,4
|
|
15%
|
17,6
|
7,8*
|
6,8*
|
2,2
|
|
|
|
10%
|
15,4
|
5,6*
|
4,6
|
|
|
|
|
25%
|
10,8
|
1,0
|
|
|
|
|
|
5%
|
9,8
|
|
|
|
|
|
Koefisien
orthogonal polinomial untuk 5 perlakuan
|
Respon
(derajat polinomial)
|
Koefisien
Ortogonal Polinomial
|
Jumlah
Kuadrat Koefisien
|
||||
|
Perlakuan
dan Total
|
||||||
|
(5%)
|
(10%)
|
(15%)
|
(20%)
|
(25%)
|
||
|
49
|
77
|
88
|
108
|
54
|
||
|
Linier
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
10
|
|
Kuadratik
|
2
|
-1
|
-2
|
-1
|
2
|
14
|
|
Kubik
|
-1
|
2
|
0
|
-2
|
-1
|
10
|
|
Kuartik
|
1
|
-4
|
6
|
-4
|
1
|
70
|
Uji
Respon Melalui Sidik Ragam
|
SK
|
d.b.
|
JK
|
KT
|
Fhitung
|
Ftabel
|
|
|
0,05
|
0,01
|
|||||
|
Perlakuan
|
4
|
475,76
|
118,94
|
|
|
|
|
Linier
|
1
|
33,62
|
33,62
|
4,17
|
4,25
|
8,10
|
|
Kuadratik
|
1
|
343,21
|
343,21
|
42,58**
|
|
|
|
Kubik
|
1
|
64,98
|
64,98
|
8,06**
|
|
|
|
Kuartik
|
1
|
33,95
|
33,95
|
4,21
|
|
|
|
Galat
|
20
|
161,20
|
8,06
|
|
|
|
|
Total
|
24
|
636,96
|
|
|
|
|
Jadi
respon perlakuan terhadap kekuatan kertas merupakan bentuk regresi kubik..
